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    <title>群 (下)</title>
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<body>

<h2>可解群</h2>

<h3>单群</h3>

<p class="definition">
  如果一个非平凡的群 `G`, 它的正规子群只有 `{e}` 和 `G`, 则称 `G`
  为<b>单群</b>.
</p>

<p class="remark">
  如同素数是构成整数的“基本粒子”, 单群是构成群的“基本粒子”.
  那么有哪些单群呢? 下面的定理指出, 最简单的一种单群是素数阶循环群.
</p>

<p class="theorem">
  素数阶循环群是单群; 反之单群中的 Abel 群必为素数阶循环群.
  也就是说, 其它的单群都不满足交换律.
</p>

<p class="proof">
  由 Lagrange 定理, 素数阶循环群显然只有平凡子群.<br>
  反之设 `G` 为 Abel 群, 它的每个子群都是正规子群,
  又 `G` 是单群, 所以 `G` 只有平凡的子群, 即 `G` 为素数阶循环群.
	事实上, 取 `G` 中非单位元 `a`, 由于 `G` 只有平凡子群,
  所以 `a` 生成整个群 `G`.  若 `|G| = mn`, `m, n gt 1`,
  则 `(:a^m:)` 为一非平凡子群, 矛盾. 故 `|G|` 为素数.
</p>

<p class="theorem">
	单群的同态像也是单群.
</p>

<p class="proof">
	不妨设 `f: G to G'` 为一群满同态 (否则 `f` 是到 `f(G)` 上的满同态).
	取 `G'` 的正规子群 `N' != {e'}`,
	则 `f^-1(N') normal G`, 但 `G` 为单群, 故 `f^-1(N')` 等于 `{e}` 或
	`G`.  但由 `f` 是满射知道, `N' = f(f^-1(N')) != {e'}`, 故只能
	`f^-1(N') = G`. 再由 `f` 是满射,
	`N' = f(f^-1(N')) = f(G) = G'`.
	所以 `G'` 为单群.
</p>

<p class="theorem">
	`n ge 5` 时, `A_n` 为单群.
</p>

<ol class="proof">
	令 `H normal A_n`, `H != {(1)}`. 下证 `H = A_n`.
	<li>先证 `H` 中含有一 `3`-轮换. 我们通过考察 `H`
		中元素的不动点数来证明它.
		令 `tau in A_n`.  称 `i` 为 `tau` 的一个不动点, 如果 `tau(i) = i`.
		`tau` 的不动点数记为 `f(tau)`. 又令 `pi` 是 `H`
		中不动点数最多的非幺元, 下证 `f(pi) = n-3`. 事实上
		由对换为奇置换知 `f(pi) != n-2`, 从而 `f(pi) le n-3`.
		假设 `f(pi) lt n-3`. 由于 `pi` 能分解成互不相交的轮换的乘积, 于是
	</li>
	<li>若 `pi` 的分解式中只有对换, 则 `pi^-1 = pi`.
		由于 `pi` 至少使 `3` 个点发生了移动,
		不妨令 `pi = (12)(34) cdots`.
		取 `sigma = (345) in A_n`. 显然除了 `5`, `pi` 的不动点也是
		<span class="formula">
			`tau := pi^-1 sigma pi sigma^-1 = pi (12)(45) cdots in H`
		</span>
		的不动点. 显然 `tau != (1)`, 否则推出 `pi = pi^-1 = sigma`.
		又 `tau(1) = 1`, `tau(2) = 2`,
		而 `pi(1) = 2`, `pi(2) = 1`, 因此 `f(tau) gt f(pi)`, 一个矛盾.
	</li>
	<li>若 `pi` 的分解式中至少有一 `k`-轮换, `k ge 3`,
		不妨令 `pi = (123 cdots)cdots`.
		若 `f(pi) = n-4`, 则不妨令 `4` 也不是不动点, 从而
		<span class="formula">
			`pi = (1234) = (14)(13)(12) !in A_n`,
		</span>
		一个矛盾.
		若 `f(pi) le n-5`, 则不妨令 `4, 5` 也不是不动点.
		令 `sigma = (345) in A_n`. 显然 `pi` 的不动点也是
		<span class="formula">
			`tau := pi^-1 sigma pi sigma^-1`
			`= (pi^-1(3), pi^-1(4), pi^-1(5)) sigma^-1 in H`
		</span>
		的不动点.  显然 `tau != (1)`.  又 `tau(1) = 1`, 从而 `f(tau) gt
		f(pi)`, 一个矛盾.
		因此, `f(pi) = n-3`, 即 `pi` 为一 `3`-轮换.
	</li>
	<li>下证 `H` 含所有 `3`-轮换. 不妨令 `pi = (123)`, 则关于任意 `(i j
		k) in A_n`, 取置换
		<span class="formula">
			`delta = (
				1, 2, 3, 4, cdots, n;
				i, j, k, delta(4), cdots, delta(n);
			)`,
		</span>
		则 `(i j k) = delta (123) delta^-1`.
		若 `delta` 为一偶置换, 则取 `varphi := delta`.
		若 `delta` 为一奇置换, 则 `varphi := delta (45)` 为一偶置换, 且
		`varphi (123) varphi^-1 = (i j k)`.
		总之存在 `varphi in A_n`, 使得 `(i j k) = varphi pi varphi^-1 in
		H`.
		由于 `A_n` 由全体 `3`-轮换生成, 所以 `H = A_n`.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
  [参见 有限单群分类定理]
  除了素数阶循环群以外, `A_5` 是最小单群, 它的阶为 60, Cayley
  图状如足球. 除此之外最小的单群是 168 阶的射影特殊线性群 `PSL(2,7)`.
  全部的有限单群已经被人们发现并归类为 18 个族, 它们包括素数阶循环群
  `C_p`, 交代群 `A_(n ge 5)` 等等.  在这些单群家族以外, 还有 26
  个不便归类的散在单群, 其中最大的两个称为魔群和小魔群.
</p>

<h3>导群</h3>

<p class="definition">
	令 `G` 为一群, `a, b in G` 的<b>换位子 (commutor)</b>定义为
	<span class="formula">
		`[a, b] := a^-1 b^-1 a b`.
	</span>
  容易验证,
	<span class="formula">
		`a b = b a[a, b]`, `quad [a, b]^-1 = [b, a]`.
	</span>
  `G` 中全体换位子生成的子群称为 `G` 的<b>导群 (或换位子群)</b>:
	<span class="formula">
		`G' := (: [a, b] | a, b in G:)`.
	</span>
  如果 `G = G'`, 则称 `G` 是<b>完美 (perfect)</b> 的.
</p>

<ol class="corollary">
	设 `e` 为群 `G` 的幺元, `a, b in G`. 则
	<li>`a b = b a` 当且仅当 `[a, b] = e`;</li>
	<li>`G` 为一 Abel 群当且仅当 `G' = {e}`;</li>
</ol>

<p class="remark">
  由于 `a b` 乘以换位子就得到 `b a`,
  换位子以及导群可以用来刻画一个群“不可交换”的程度.
  换位子和导群越复杂, 就说明 `a b` 到 `b a` 相差得越远.
  反之, 在 Abel 群中, 换位子和导群则简单到了极致.
</p>

<p class="corollary">
	令 `G` 为一群, 则 `G' normal G`.
</p>

<p class="proof">
	`AA [a, b] in G'`, `g in G`,
	<span class="formula">
		`g[a, b]g^-1`
		`= g a^-1 b^-1 a b g^-1`
		`= g a^-1 (g^-1 g) b^-1 (g^-1 g) a (g^-1 g) b g^-1`
		`= (g a^-1 g^-1) (g b^-1 g^-1) (g a g^-1) (g b g^-1)`
		`= [g a g^-1, g b g^-1] in G'`.
	</span>
	从而 `G' normal G`.
</p>

<p class="corollary">
  单群中除了素数阶循环群就是完美群.
</p>

<p class="proof">
  若 `G` 为单群, 由于单群的正规子群只有平凡群和它自身, 故
  <span class="formula">
    `G' = {e}` 或 `G' = G`.
  </span>
  前者说明 `G` 为 Abel 群, 即素数阶循环群; 后者说明 `G` 是完美群.
</p>

<p class="corollary">
	`S_n' normal A_n`.
</p>

<p class="proof">
  由 `S_n` 的任一换位子是偶置换知 `S_n' le A_n`
	(任取换位子 `a^-1 b^-1 a b`, 由 `a, a^-1`; `b, b^-1` 的奇偶性分别相等知
	`a^-1 b^-1 a b in A_n`).
	再由 `S_n' normal S_n` 推出 `S_n' normal A_n`.
</p>

<h3>可解群</h3>

<p class="definition">
	群 `G` 的 `n` 阶导群定义为:
	<span class="formula">
		`G^((0)) = G`,
		`quad G^((n+1)) = (G^((n)))'`,
    `quad n = 0, 1, 2, cdots`.
	</span>
  如果存在非负整数 `n` 使 `G^((n)) = {e}`, 则称 `G`
  是<b>可解群 (solvable group)</b>.
  显然 Abel 群是可解群, 因为它的导群就是 `{e}`.
</p>

<p class="corollary">
  非平凡的完美群不是可解群, 因为无论怎么求导都得到它自己.
  反之任意不可解的有限群 `G` 存在一个 `n` 阶导群 `G^((n))` 是非平凡完美群.
</p>


<p class="proof">
  若 `G^((n))` 不是完美群, 则它有真子群 `G^((n+1))`.
  但 `G` 是有限群, 这一过程不可能无限进行下去,
  必存在 `n` 使 `G^((n)) = G^((n+1))`. 由 `G` 不可解知 `G^((n))` 非平凡.
</p>

<ol class="corollary">
  单群中只有素数阶循环群是可解的, 其余单群都是完美群, 因而不可解.
</ol>

<p class="remark">
	可解单群 `=` 素数阶群 `sub` 循环群 `sub` Abel 群 `sub` 可解群.
</p>

<ol class="example">
	<b>`A_n` 的可解性</b>
	<li>`A_1, A_2` 为平凡群, 是可解群;
    `A_3` 为素数阶 (3阶) 群, 也是可解群;</li>
	<li>`A_4` 是可解群: 用换位子的定义计算可得 `A_4' = K_4`.
		`K_4` 是 Abel 群因而可解.
	</li>
	<li>`n ge 5` 时, `A_n` 为单群, 但它不是素数阶群, 因此不可解.
    事实上, `n ge 4` 时 `A_n` 不是 Abel 群,
    故 `n ge 5` 时 `A_n` 为完美群.
	</li>
</ol>

<ol class="example">
	<b>`S_n` 的可解性</b>
	<li>`S_1, S_2` 是 Abel 群, 因此为可解群.</li>
	<li>`S_3` 是可解群.
		3 阶群 `A_3` 的子群 `S_3'` 的阶只能是 1 或 3.
		若 `|S_3'| = 1`, 则 `S_3` 为 Abel 群, 矛盾; 所以 `|S_3'| = 3`,
		即 `S_3' = A_3`. 而 `A_3` 是可解群.
	</li>
	<li>`S_4` 是可解群; 因为 `S_4' le A_4`, 反之可以验证,
		`A_4` 的任一元素都为 `S_4` 的换位子, 故 `S_4' = A_4`.
		而 `A_4` 是可解群.
	</li>
	<li>`n ge 5` 时, `S_n` 不是可解群.
		注意到 `S_n' normal A_n`, 且 `n ge 3` 时 `S_n` 不是 Abel 群,
		所以 `S_n' = A_n`. 但是 `A_n` 的任意阶导群都是自己, 所以 `S_n`
		不是可解群.
	</li>
</ol>

<table>
	<caption>`S_n` 的各阶导群</caption>
	<tr>
		<td></td>
		<td>`'`</td>
		<td>`''`</td>
		<td>`'''`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`S_1`</td>
		<td>`{e}`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`S_2`</td>
		<td>`{e}`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`S_3`</td>
		<td>`A_3`</td>
		<td>`{e}`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`S_4`</td>
		<td>`A_4`</td>
		<td>`K_4`</td>
		<td>`{e}`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`S_5`</td>
		<td>`A_5`</td>
		<td>`A_5`</td>
		<td>`A_5`</td>
	</tr>
</table>

<p class="remark">
	在 Galois 理论中, 我们将利用 `n ge 5` 时 `S_n` 不是可解群这一结论,
	说明一般五次及以上方程没有根式解.  这一推理过程是非常巧妙的.
</p>

<ol class="theorem">
	令 `G` 为一群, `varphi` 是群同态, 则
	<li>`H le G` `rArr H' le G'`;</li>
	<li>`(varphi(G))' = varphi(G')`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>因为 `H le G`, `H` 的换位子都是 `G` 的换位子, 从而 `H' le G'`.</li>
	<li>`AA a, b in G`, `[varphi(a), varphi(b)] = varphi[a, b]`,
		从而 `(varphi(G))' = varphi(G')`.
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	可解群的子群和同态像均为可解群.
</p>

<ol class="corollary">
	令 `G` 为一群, `N normal G`, 则
	<li>若 `G` 可解, 则 `G//N` 可解;</li>
	<li>若 `N`, `G//N` 可解, 则 `G` 可解.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`G//N` 是 `G` 在自然同态 `eta: g in G to g N in G//N` 下的像,
		因而可解.
	</li>
	<li>因为 `N`, `G//N` 都可解, 存在非负整数 `s, t`, 使
		<span class="formula">
			`N^((s)) = {e}`, `quad (G//N)^((t)) = {bar e}`.
		</span>
		其中 `e, bar e` 分别为 `N, G//N` 的幺元.
		因为 `G//N` 是 `G` 在自然同态 `eta` 下的像, 故对非负整数 `t`, 有
		<span class="formula">
			`{bar e} = (G//N)^((t)) = (eta(G))^((t))`
			`= eta(G^((t))) = (G^((t)) N)//N`.
		</span>
		(注意未必有 `N normal G^((t))`, 因为未必有 `N le G^((t))`;
		但一定有 `N normal G^((t)) N`, 这是因为 `G^((t)) N = N G^((t))`,
		故 `N le G^((t)) N le G`, 又 `N normal G`)
		因此 `G^((t)) N = N`, 从而 `G^((t)) le N`.
		于是 `G^((s+t)) le N^((s)) = {e}`, 即 `G` 可解.
	</li>
</ol>

<h3>子群列</h3>

<p class="definition">
	令 `G` 为非平凡群, `M lhd G` (即 `M normal G` 且 `M != G`).
	称 `M` 为 `G` 的一个<b>极大正规子群</b>, 如果包含 `M` 的 `G`
	的正规子群只有 `M` 和 `G`, 即
	<span class="formula">
		`(AA N normal G)` `M sub N rArr N = G`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	任意非平凡有限群 `G` 都有极大正规子群.
</p>

<p class="proof">
	`|G| = 2` 时, `{e}` 即是 `G` 的极大正规子群; `|G| = n gt 2` 时,
	任取 `M_1 lhd G`, 若 `M_1` 不极大, 则存在 `M_2 lhd G`,
	`M_1 sub M_2`. 这蕴含 `|M_1| lt |M_2|`. 若 `M_2` 不极大, 类似可得
	`M_3, M_4, cdots`, 且 `|M_1| lt |M_2| lt |M_3| lt cdots`. 但 `|G|`
	有限, 这一序列也有限, 所以存在 `G` 的极大正规子群.
</p>

<p class="theorem">
	若群 `M lhd G`, 则 `M` 为 `G` 的一个极大正规子群当且仅当
	`G//M` 为一单群.
</p>

<p class="proof">
	充分性: 任取 `N normal G`, 且 `M sub N`,
	由 `M lhd G` 知 `M lhd N`.
	考察 `N//M = {n M | n in N} le G//M`. 因为 `N normal G`, 所以
	`N//M normal G//M`, 但 `G//M` 为单群, 又由 `M sub N`,
	`N//M != {M}`, 故 `N//M = G//M`, 即 `N = G`.<br/>
	必要性: 作自然同态 `eta: g in G to g M in G//M`.
	取 `H normal G//M`, 且 `H != {M}`, 又记 `K = eta^-1(H) normal G`.
	由 `{M} sub H`, `M = eta^-1({M}) sub eta^-1(H) = K`.
	但 `M` 是极大正规子群, 故 `K = G`, `H = eta(K) = G//M`.
</p>

<p class="definition">
	令 `G` 为非平凡群, `k ge 1`. 称 `G` 的子群列
	<span class="formula">
		`G = G_0 rhd G_1 rhd cdots rhd G_k = {e}`
	</span>
	为 `G` 的一个长度为 `k` 的<b>合成群列</b>,
	如果各个<b>合成因子</b> `G_i//G_(i+1)` 为一单群,
	`i = 0, 1, cdots, k-1`.
</p>

<p class="remark">
	`G_i//G_(i+1)` 为单群, 则 `G_(i+1)` 为 `G_i` 的一个极大正规子群.
	这保证了合成群列中不能再插入其他子群.
</p>

<p class="corollary">
	任意非平凡有限群 `G` 有合成群列.
</p>

<p class="proof">
	`|G| = 2` 时, `G rhd {e}` 即为 `G` 的一个合成群列.
	`|G| = n gt 2` 时, 假设阶小于 `n` 的非平凡有限群有合成群列, 考查阶为
	`n` 的情形. 若 `G` 为单群, 则 `G rhd {e}` 为 `G` 的一个合成群列;
	否则取 `G` 的极大正规子群 `M`, 显然 `1 lt |M| lt |G|`. 由归纳假设,
	`M` 有合成群列. 又 `G//M` 为单群, 可以将 `G` 加入到 `M` 的合成群列中,
	成为 `G` 的一个合成群列.
</p>

<p class="definition">
	令 `G` 为一群, `k ge 1`, 称 `G` 的子群列
	<span class="formula">
		`G = G_0 rnormal G_1 rnormal cdots rnormal G_k = {e}`
	</span>
	为 `G` 的一个长度为 `k` 的<b>次正规群列</b>,
	`G_i//G_(i+1)` 称为 `G` 的<b>次正规因子</b>;
	若进一步 `G_i normal G`, 则上述群列称为 `G` 的<b>正规群列</b>,
	`G_i//G_(i+1)` 称为 `G` 的<b>正规因子</b>; `i = 0, 1, cdots, k-1`.
</p>

<p class="corollary">
	合成群列是次正规群列, 正规群列是次正规群列.
</p>

<h3>可解群的等价条件</h3>

<p class="definition">
	设群 `H le G`, 如果对 `G` 上任意自同构映射 `sigma` (即 `sigma in
	"Aut"(G)`), 有
	<span class="formula">
		`sigma(H) = H`.
	</span>
	则称 `H` 为 `G` 的一个<b>特征子群</b>, 记为 `H" char "G`.
	换言之, `H" char "G` 当且仅当对任意 `sigma in "Aut"(G)`, 都有
	`sigma|_H in "Aut"(H)`.
</p>

<ol class="example">
	<li>`{e}" char "G`, `G" char "G`. 称 `{e}, G` 为 `G` 的平凡特征子群.
	</li>
	<li>`Z(G)" char "G`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>显然.</li>
	<li>由 `sigma` 为满同态, `AA sigma(g) in G, x in Z(G)`,
		<span class="formula">
			`sigma(g) sigma(x) = sigma(g x) = sigma(x g) = sigma(x)
			sigma(g)`,
		</span>
		故 `sigma(x) in Z(G)`, 即 `sigma(Z(G)) sube Z(G)`.<br/>
		另一方面, `AA sigma(x) in Z(G), g in G`,
		<span class="formula">
			`sigma(x g) = sigma(x) sigma(g) = sigma(g) sigma(x) = sigma(g
			x)`,
		</span>
		由 `sigma` 为单射知 `x g = g x`. 故 `x in Z(G)`, 即
		`sigma^-1(Z(G)) sube Z(G)`, 从而 `Z(G) = sigma(sigma^-1(Z(G)))
		sube sigma(Z(G))`.
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	特征子群是正规子群.
</p>

<p class="proof">
	取 `sigma: h in H to g h g^-1 in G` 即可.
</p>

<p class="corollary">
	<b>特征子群的传递性</b>
	设群 `K" char "H" char "G`, 则 `K" char "G`.
</p>

<p class="proof">
	令 `sigma in "Aut"(G)`, 由 `H" char "G` 知 `sigma|_H in "Aut"(H)`,
	又由 `K" char "H` 知 `sigma|_K = (sigma|_H)_K in "Aut"(K)`,
	因此 `H" char "G`.
</p>

<p class="corollary">
	令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n))" char "G`.
</p>

<p class="proof">
	令 `sigma in "Aut"(G)`, 则 `sigma(G^((n))) = (sigma(G))^((n)) =
	G^((n))`, 即 `G^((n))" char "G`.
</p>

<p class="corollary" id="cor-gn-normal-g">
	令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n)) normal G`.
	于是 `G` 可解时, `G^((n))`, `n = 0, 1, cdots, k`
	构成 `G` 的一个正规群列.
</p>

<p class="remark">
	由于正规子群不具有传递性, 我们利用特征子群的概念才得到这一结果.
</p>

<p class="theorem">
	令群 `N normal G`, 则 `G//N` 为一 Abel 群当且仅当 `G' sube N`.
</p>

<p class="proof">
	`G//N` 为一 Abel 群
	`iff (AA a, b in G) a N * b N = b N * a N`
	`iff (AA a, b in G) (a b)N = (b a)N`
	`iff (AA a, b in G) (b a)^-1(a b) in N`
	`iff (AA a, b in G) a^-1 b^-1 a b in N`
	`iff G' sube N`.
</p>

<p class="corollary" id="cor-g-mod-g1-abel">
	`G//G'` 为一 Abel 群.
</p>

<p class="remark">
	这个定理告诉我们, `G'` 是使得 `G//N` 为一 Abel 群的最小正规子群 `N`;
	换言之, `G//G'` 是同构意义下最大的形如 `G//N` 的 Abel 群.
</p>

<ol class="theorem" id="the-solvable-iff">
  <b>可解群的等价条件</b>
	令 `G` 为一群, 则以下几款等价:
	<li>`G` 可解;</li>
	<li>`G` 有一正规群列, 且它的所有正规因子都为 Abel 群;</li>
	<li>`G` 有一次正规群列, 且它的所有次正规因子都为 Abel 群.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`rArr` 2. 利用<a class="ref" href="#cor-gn-normal-g"></a>和<a
		class="ref" href="#cor-g-mod-g1-abel"></a>即可.
	</li>
	<li>`rArr` 3. 显然.</li>
	<li>`rArr` 1. 令 `k ge 1`,
		<span class="formula">
			`G = G_0 rnormal G_1 rnormal cdots rnormal G_k = {e}`
		</span>
		为 `G` 的一个次正规群列, 且 `G_i//G_(i+1)` 为一 Abel 群, `i = 0,
		1, cdots, k-1`. 下证 `G^((i)) le G_i`, `i = 1, 2, cdots, k`,
		从而 `G^((k)) le G_k = {e}`, 就推出 `G` 可解.<br/>
		关于 `i` 应用数学归纳法. 当 `i = 1` 时, 由于 `G//G_1` 为一 Abel
		群, 则 `G' sube G_1`, 结论成立.<br/>
		假设 `i-1` 时结论成立, 考察 `i gt 1` 的情形, 由于
		`G_(i-1)//G_i` 为一 Abel 群, 则 `G_(i-1)' sube G_i`, 由归纳假设
		<span class="formula">
			`G^((i)) = (G^((i-1)))' sube G_(i-1)' sube G_i`.
		</span>
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	非平凡有限群 `G` 可解当且仅当 `G` 有一合成群列,
	且它的所有合成因子都为素数阶循环群.
  换言之, 有限可解群是由最简单的单群——素数阶循环群合成的.
</p>

<p class="proof">
	充分性. 素数阶循环群必为 Abel 群, 合成群列是次正规群列.
	应用<a class="ref" href="#the-solvable-iff"></a>知 `G` 可解.<br/>
	必要性. 由于 `G` 为非平凡有限群, 故 `G` 有一合成群列. 令 `H//K` 为 `G`
	的一个合成因子, 其中 `K lhd H le G`, 则由 `G` 可解知,
	`G` 的子群 `K, H` 都可解, 从而 `H//K` 可解. 但 `H//K` 又是单群,
	所以 `H//K` 为一素数阶循环群.
</p>

<h2>自同构群</h2>

<p class="definition">
  令 `G` 为一群, `G` 上的全体自同构映射 `"Aut"(G)`
  关于变换的通常合成为一群, 称为 `G` 的<b>自同构群</b>.
</p>

<ol class="theorem">
  <b>循环群的自同构群</b>
  <li>循环群的自同构群为 Abel 群;</li>
  <li>`n` 阶循环群同构于整数模 `n` 加群 `ZZ_n`.
    `"Aut"(ZZ_n)` 为一 `varphi(n)` 阶 Abel 群,
    `varphi(n)` 为 Euler 函数;
  </li>
  <li>无穷阶循环群同构于整数加群 `ZZ`.
    `"Aut"(ZZ) = {i, sigma}`,
    其中 `i(1) = 1`, `sigma(1) = -1`.
  </li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>`AA sigma, tau in "Aut"(G)`, 其中 `sigma(a) = a^m`, `tau(a) =
    a^n`, `m, n in ZZ`, 则 `AA a^k in G`,
    <span class="formula">
      `sigma tau(a^k) = a^(m n k) = tau sigma(a^k)`.
    </span>
  </li>
  <li>自同构映射将群的 `k` 阶元映为 `k` 阶元; 特别地, 将生成元映为生成元.
    由于每一对生成元之间的对应关系都决定了 `G` 的一个自同构
    (如 `sigma(a) = b`, 则 `sigma(a^k) = b^k`),
    从而 `|"Aut"(G)|` 等于 `G` 中生成元的个数, 即 `varphi(n)`.
  </li>
  <li>这是因为 `ZZ` 的生成元只有 `+-1`.</li>
</ol>

<p class="definition">
  群 `G` 中全体共轭变换构成 `G` 的<b>内自同构群</b>
  <span class="formula">
    `"Inn"(G) = { tau_a | a in G }`,
  </span>
  其中 `tau_a: g in G mapsto a g a^-1 in G`.
  可以验证 `"Inn"(G) normal "Aut"(G)`, 又称
  <span class="formula">
    `"Aut"(G)//"Inn"(G)`
  </span>
  为 `G` 的<b>外自同构群</b>.
</p>

<ol class="proof">
	<li>显然 `tau_a` 为双射, 又
		<span class="formula">
			`tau_a(g h) = a(g h)a^-1 = a g a^-1 a h a^-1 =
			tau_a(g)tau_a(h)`,
		</span>
		`tau_a` 为一同构, 故 `tau_a in "Aut"(G)`.
	</li>
	<li>显然 `"Inn"(G) sube "Aut"(G)`, 又 `AA tau_a, tau_b in "Inn"(G)`,
		<span class="formula">
			`tau_a^-1 = tau_(a^-1) in "Inn"(G)`,
			`quad tau_a tau_b = tau_(a b) in "Inn"(G)`.
		</span>
		所以 `"Inn"(G) le "Aut"(G)`.
	</li>
	<li>`AA tau_a in "Inn"(G), sigma in "Aut"(G), x in G`,
		<span class="formula">
			`(sigma tau_a sigma^-1)(x)`
			`= sigma( tau_a (sigma^-1(x)))`
			`= sigma(a sigma^-1(x) a^-1)`
			`= sigma(a) x sigma(a)^-1`
			`= tau_(sigma(a))(x)`.
		</span>
		从而 `sigma tau_a sigma^-1 = tau_(sigma(a)) in "Inn"(G)`,
		于是 `"Inn"(G) normal "Aut"(G)`.
	</li>
</ol>

<p class="theorem" id="the-inn-isomorphism">
	令 `G` 为一群, 则 `"Inn"G ~= G//Z(G)`.
</p>

<p class="proof">
	作 `eta: a in G to tau_a in "Inn"(G)`, 由内自同构的定义知 `eta`
	为一满射, 又 `AA g in G`,
	<span class="formula">
		`tau_(a b)(g) = (a b)g(a b)^-1 = (tau_a tau_b)(g)`,
	</span>
	故 `eta` 为一满同态.<br/>
	下证 `"Ker"eta = Z(G)`. 这是因为
	<span class="formula">
		`a in "Ker"eta`
		`iff tau_a = 1_G`
		`iff (AA x in G) x = tau_a(x) = a x a^-1`
		`iff (AA x in G) x a = a x`
		`iff a in Z(G)`.
	</span>
	根据同态基本定理,
	<span class="formula">
		`"Inn"(G) = "Im"eta ~= G//"Ker"eta = G//Z(G)`.
	</span>
</p>

<p class="definition">
	令群 `H le G`, `g in G`, 则 `g H g^-1 ~= H`, 称为 `H` 在 `G`
  中的<b>共轭子群</b>.
</p>

<p class="proof">
	作映射 `f: h in H to g h g^-1 in g H g^-1`. 显然 `f` 为双射, 又
	`AA h_1, h_2 in H`,
	<span class="formula">
		`f(h_1) f(h_2) = g h_1 g^-1 g h_2 g^-1`
		`= g(h_1 h_2)g^-1 = f(h_1 h_2)`,
	</span>
	故 `f` 为一同态, 即 `f` 为一同构.
</p>

<p>令 `H` 是 `G` 的子群. 我们希望 `H` 是 `G` 的正规子群, 这当然办不到!
  退而求其次, 希望 `H` 在 `G` 的<em>某个子群</em>中正规.
  这就是下面要引入的正规化子. 在 `G` 的子群 `N_G(H)` 中, `H` 实现了它的
  "正规梦".
</p>

<ol class="definition">
  令群 `H le G`, 定义
  <li>`H` 的<b>正规化子 (normalizer)</b>为
    <span class="formula">
      `N_G(H) := {g in G | g H g^-1 = H}`
      `= {g in G | g H = H g}`.
    </span>
  </li>
  <li>`H` 的<b>中心化子 (centralizer)</b>为
    <span class="formula">
      `Z_G(H) := {g in G | (AA h in H) g h g^-1 = h }`
      `= {g in G | (AA h in H) g h = h g}`.
    </span>
  </li>
  <li>此外, 元素 `x in G` 的中心化子定义为
    <span class="formula">
      `Z_G(x) := {g in G| g x g^-1 = x }` `= {g in G | g x = x g}`.
    </span>
  </li>
	容易验证 `N_G(H), Z_G(H)` 均为 `G` 的子群, 且 `H` 是 `N_G(H)`
  的正规子群, `H` 是 `Z_G(H)` 的中心.
  这两个定义有些相似, 但请注意, `N_G(H)` 的定义只要求集合相等,
  而 `Z_G(H)` 则达到元素级别的粒度.
</ol>

<p class="remark">
	若 `H` 有限, 正规化子还可以定义为
	<span class="formula">
		`N_G = {g in G | g H g^-1 sube H}`.
	</span>
	事实上, 由于 `g H g^-1 ~= H` 有 `|g H g^-1| = |H|`,
	故只能 `g H g^-1 = H`.
</p>

<ol class="corollary">
	设群 `H le G`, 则
	<li>`H normal N_G(H)`; 特别 `H normal G iff N_G(H) = G`;</li>
	<li>`Z_G(H) normal N_G(H)`; 特别 `H normal G` 时, `Z_G(H) normal G`;
	</li>
	<li>若 `K normal H`, 则 `H le N_G(K)`.</li>
</ol>

<p class="remark">
	`N_G(H) = H` 时, `H` 在 `G` 中的正规程度最差; `N_G(H) = G` 时, `H
	normal G`, 在 `G` 中的正规程度最好. `Z_G(H) = H` 时, `H` 为一 Abel 群;
	`Z_G(H) = G` 时, `H le Z(G)`. 另外显然 `Z(G) = Z_G(G)`.
</p>

<p class="theorem" id="the-inn-isomorphism-advanced">
	令群 `H le G`, 则
	<span class="formula">
		`N_G(H) // Z_G(H) ~= "Inn"(N_G(H))|_H le "Aut"(H)`
	</span>
</p>

<p class="proof">
	令 `g in N_G(H)`, 则 `tau_g(H) = g H g^-1 = H`, 其中 `tau_g in
	"Inn"(N_G(H))`. 因此 `tau_g|_H` 为 `H` 上一自同构. 据此, 存在同态
	<span class="formula">
		`eta: N_G(H) to "Aut"(H)`<br/>
		`g to tau_g|_H`.
	</span>
	又
	<span class="formula">
		`"Ker"eta = {g in N_G(H) | tau_g|_H = 1_H}`
		`= {g in N_G(H) | (AA h in H) g h g^-1 = h}`
		`= Z_G(H) nn N_G(H)`
		`= Z_G(H)`.
	</span>
	于是由群同态基本定理
	<span class="formula">
		`N_G(H)//Z_G(H)`
		`= N_G(H)//"Ker"eta ~= "Im"eta`
		`= Inn(N_G(H))|_H le`
		`"Aut"(H)`.
	</span>
</p>

<p class="corollary" id="cor-inn-isomorphism-advanced">
	令群 `H normal G`, 则 `N_G(H) = G`, 于是
	<span class="formula">
		`G//Z_G(H) ~= "Inn"(G)|_H le "Aut"(H)`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	在上面的推论中取 `H = G`, 可以看到<a class="ref"
	href="#the-inn-isomorphism-advanced"></a> 是<a class="ref"
	href="#the-inn-isomorphism"></a> 的推广.
</p>

<p class="example">
	令 `G` 为一群, `a in G`, 且 `(:a:) normal G`.
	则 `G' sube Z_G((:a:))`.
</p>

<p class="proof">
	由<a class="ref" href="#cor-inn-isomorphism-advanced"></a>,
	<span class="formula">
		`G//Z_G((:a:)) ~= "Inn"(G)|_(:a:) le "Aut"((:a:))`
	</span>
	后者是循环群的自同构群, 必为 Abel 群, 所以
	`G//Z_G((:a:))` 也是 Abel 群. 从而 `G' sube Z_G((:a:))`.
</p>

<h2>群作用与有限群的 Sylow 定理</h2>

<h3>群作用</h3>

<ol class="definition">
  考虑群 `G` 与非空集合 `X`, 若映射
  <span class="formula">
    `f: G xx X to X`<br/>
    `(g, x) mapsto f(g, x) := g(x)`,
  </span>
  满足以下两条性质:
  <li>`(g h)x = g(h x)`, `AA g, h in G, AA x in X`;</li>
  <li>`e x = x`, `AA x in X`, `e` 是 `G` 的幺元.</li>
  则 `f` 称为 `G` 在 `X` 上的一个<b>作用</b>.
  由定义有
  <span class="formula">
    `g^-1(g(x)) = (g^-1 g)x = e x = x`.
  </span>
</ol>

<!-- <p class="remark">
	群作用的概念和拓扑学中的同伦是类似的. (??
</p> -->

<ol class="example">
  <li>线性空间 `(V";" bbb F)` 的数乘运算 `(k, alpha) mapsto k alpha`
    是 `bbb F` 的乘法群在 `V` 上的一个群作用.
  </li>
  <li>群 `G` 上的左平移变换 `(g, x) mapsto g x`
    是 `G` 对自身的群作用. 右平移类似.
  </li>
  <li>群 `G` 上的共轭变换 `(g, x) mapsto g x g^-1`
    是 `G` 对自身的群作用.
  </li>
  <li>群 `G` 关于子群 `H` 的左陪集全体 `G//H_l = {g H | g in G}`
    称为 `G` 的一个<b>齐性空间</b>. 齐性空间未必构成群, 它的要求低于商群.
    `(g, a H) mapsto (g a) H` 是 `G` 在 `G//H_l` 上的一个群作用. 右陪集类似.
  </li>
</ol>

<p class="theorem" id="the-group-action-homomorphism">
 群作用 `f: G xx X to X` 与群同态 `eta: G to S_X` 一一对应.
 其中 `S_X` 是 `X` 上的对称群, 亦即 `X` 上全体可逆变换.
</p>

<p class="proof">
	设有群作用 `f(g, x) := g(x)`,
	作 `eta: g in G to sigma_g in S_X`, 其中 `sigma_g: x to g(x)`.
	先证 `sigma_g in S_X`, 即 `sigma_g` 为双射.
	显然 `sigma_g` 是 `X` 上的变换. 又 `AA x in X`,
	<span class="formula">
		`sigma_(g^-1) @ sigma_g{::}(x)`
		`= sigma_(g^-1)(sigma_g{::}(x))`
		`= g^-1(g(x)) = x`,
	</span>
	所以 `sigma_(g^-1) @ sigma_g = 1_X`.
	同理 `sigma_g @ sigma_(g^-1) = 1_X`, 于是 `sigma_g` 为一双射.
	又 `AA g, h in G`, `x in X`,
	<span class="formula">
		`eta(h g)(x) = sigma_(h g)(x)`
		`= (h g)(x) = h(g(x))`
		`= sigma_h(sigma_g{::}(x)) = (sigma_h @ sigma_g)(x)`
		`= [eta(h) eta(g)](x)`,
	</span>
	因此 `eta` 为一同态映射.<br/>
	反之, 令 `eta: G to S_X` 为同态映射.  作映射
	`f: (g, x) in G xx X to (eta(g))(x) in X`.
	由于 `AA g, h in G`, `x in X`,
	<span class="formula">
		`(h g)(x) = eta(h g)(x) = (eta(h) @ eta(g))(x)`
		`= eta(h)(eta(g)(x)) = h(g(x))`;<br/>
		`e(x) = eta(e)(x) = 1_X(x) = x`.
	</span>
	因此 `f: G xx X to X` 为群作用.
</p>

<p class="remark">
	定理告诉我们, 定义了群作用 `f(g, x)` 后, 每取定一个群元 `g in G`,
	就对应有 `X` 上的一个可逆变换 `sigma_g`, 且 `G` 到 `S_X`
	间是群同态的关系, 亦即 `sigma_g` 保持了 `g` 在 `G` 中的代数运算.
	反之, 如果每取定一个 `g in G`, 就对应有 `X` 上的可逆变换 `sigma_g`,
	且 `sigma_g` 保持 `g` 在 `G` 中的代数运算, 我们也就定义了一个群作用
	`f(g, x)`.
</p>

<h3>群作用的轨道与不动点</h3>

<p class="definition">
  令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 定义 `X` 上二元关系 `~` 如下:
  <span class="formula">
    `x ~ y iff (EE g in G) g(x) = y`.
  </span>
  可以验证 `~` 为 `X` 上一等价关系.  元素 `x in X` 所在的等价类记为
  <span class="formula">
    `O_x := {g(x) | g in G}`.
  </span>
  这是 `x` 在群作用 `f` 下能到达的地方, 称为 `f` 的一个<b>轨道</b>.
  显然 `X` 是全体不同轨道的无交并.
  若 `f` 只有一个轨道, 则称它是<b>可迁的</b>.
</p>

<p class="example">
  群 `G` 在共轭作用下的轨道是其<b>共轭类</b>.
  `G` 是全体共轭类的无交并. 正规子群是一到多个共轭类的并,
  这是因为正规子群满足 `AA g in G`, `g H g^-1 sube H`,
  即它的共轭像含于自身.
</p>

<p class="definition">
  令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 任取 `x in X`, 考虑 `x` 何时为不动点.
  事实上, 定义
  <span class="formula">
    `H_x := {g in G | g(x) = x}`
  </span>
  由 `e in H_x` 知 `H_x` 非空. 容易验证 `H_x le G`, 称为 `x` 在 `f`
  下的<b>稳定子群</b>.
</p>

<p class="proof">
  `AA a, b in G`, 若 `a x = b x = x`,
  则
  <span class="formula">
    `a b^-1 x = a b^-1(b x) = a x = x`.
  </span>
  所以 `a b^-1 in H_x`.
</p>

<p class="definition">
  如果 `x in X` 在任意 `g in G` 的作用下都不动:
  <span class="formula">
    `(AA g in G) g(x) = x`,
    即 `O_x = {x}`, 亦即 `H_x = G`,
  </span>
  则称 `x` 为 <b>`f` 的不动点</b>.
</p>

<p class="example">
  群 `G` 在共轭作用 `g(x) = g x g^-1` 下的稳定子群 `H_x` 等于元素 `x`
  的中心化子 `Z_G(x)`; `G` 在共轭作用下的不动点的全体就是 `Z(G)`.
</p>

<p class="definition">
  设群 `G` 在非空集 `X, Y` 上各有一群作用, 称这两个群作用<b>等价</b>,
  如果存在双射 `varphi: X to Y` 使得
  <span class="formula">
    `(AA g in G)(AA x in X)`
    `varphi(g(x)) = g(varphi(x))`.
  </span>
  换言之下图可换:
  <span class="formula">
  `{:
    G xx X, rarr, X;
    darr, , darr;
    G xx Y, rarr, Y;
  :}`
  </span>
</p>

<p class="lemma">
  令 `f: G xx X to X` 为一群作用, `x in X`, 显然 `f` 在 `O_x`
  上的限制也为一群作用, 且 `G` 在 `O_x` 上的群作用与 `G` 在齐性空间
  `G//H_(x,l)` 上的群作用等价.
</p>

<p class="proof">
  作 `varphi: a H_x in G//H_(x,l) to a(x) in O_x`.  由
  <span class="formula">
    `a H_x = b H_x iff a^-1 b in H_x`
    `iff x = (a^-1 b) x`
    `iff a(x) = b(x)`
  </span>
  知, `varphi` 为一映射, 且为一单射, 又由轨道定义, `varphi` 为一满射,
  因此 `varphi` 为一双射.
  `AA g in G, a H_x in G//H_(x,l)`,
  <span class="formula">
    `varphi(g(a H_x)) = varphi((g a)H_x)`
    `= (g a)(x) = g(a(x)) = g(varphi(a H_x))`,
  </span>
  因此, 二群作用等价.
</p>

<p class="theorem" id="the-orbit-cardinal">
  令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 则
  <span class="formula">
    `|G| = |O_x| |H_x|`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  这是因为存在 `G//H_(x,l) to O_x` 间的双射, 故
  <span class="formula">
    `|O_x| = |G//H_(x,l)| = [G:H_x]`.
  </span>
</p>

<h3>Sylow 定理</h3>

<p class="definition">
  阶为素数幂的群称为<b>`bm p`-群</b>, 如 `|G| = p^k`,
	其中 `p` 为一素数, `k in ZZ^+`.
</p>

<p class="theorem">
  令 `G` 为一 `p`-群, `X` 为一非空有限集, 若群作用 `f: G xx X to X`
  有 `n` 个不动点, 则
	<span class="formula">
		`|X| -= n (mod p)`.
	</span>
	从而 `p !| |X|` 时, 群作用必有不动点.
</p>

<p class="proof">
	令 `X` 为群作用 `f` 的轨道的如下无交并
	<span class="formula">
		`X = uuu_(i=1)^m O_(x_i)`,
	</span>
	不妨令 `x_1, x_2, cdots, x_n` 为 `f` 的所有不动点, 则
  每个不动点所在的轨道大小为 1,
	<span class="formula">
		`|X| = n + sum_(i=n+1)^m |O_(x_i)|`.
	</span>
	对任意 `n lt i le m`, `|O_(x_i)| gt 1`,
  由<a class="ref" href="#the-orbit-cardinal"></a>,
  `|O_(x_i)|` 整除 `|G| = p^k`, 所以 `p` 整除 `|O_(x_i)|`.
  上式两边同时模 `p` 即得证.
</p>

<p class="corollary">
	`p`-群有非平凡中心.
</p>

<p class="proof">
	令 `|G| = p^k`, 只需说明 `|Z(G)| != 1`.
  注意 `Z(G)` 是 `G` 上共轭作用的全体不动点, 因此
	`|Z(G)| -= p^k (mod p)`, 立即推出 `|Z(G)| != 1`.
  事实上 `|Z(G)|` 整除 `|G| = p^k`, 因此 `|Z(G)| = p^l`,
  `l` 是某个满足 `1 le l le k` 的整数.
</p>

<p class="lemma">
  设 `n` 为正整数, `p` 为素数, 且 `p` 在 `n` 中次数为 `l`, 即
  <span class="formula">
    `p^l | n` 且 `p^(l+1) !| n`,
  </span>
  则对任意 `0 le k le l`, `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数为 `l-k`.
</p>

<p class="proof">
  令 `n = p^l m`, 其中 `p !| m`, 则
	<span class="formula">
		`(n;p^k) = n/p^k (n-1;p^k-1)`
		`= p^(l-k) m (n-1;p^k-1)`.
	</span>
	且 `AA 1 le i le p^k-1`, `0 le t le k`, 由于 `p^t | n`, 有
	<span class="formula">
		`p^t | n-i`
    `iff p^t | i`
    `iff p^t | p^k-i`,
	</span>
	因此
	<span class="formula">
		`(n-1;p^k-1) =
		((n-1)cdots(n-(p^k-1)))/((p^k-1)cdots(p^k-(p^k-1)))`
	</span>
	分子分母含有同样多的公因子 `p`, 因而消去因子 `p` 后得到一分子分母都与
	`p` 互素的分数 (实际上是整数). 将这结果代回 `(n; p^k)` 的表达式, 注意 `p
  !| m`, 即知 `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数恰为 `l-k`.
</p>

<ol class="theorem">
	<b>Sylow 定理</b>
	令 `G` 为一 `n` 阶群, 素数 `p` 在 `n` 中的次数为 `l`.  则
  <li><b>存在性</b>
    `G` 必有 `p^k` 阶子群, `k = 1, cdots, l`, 其中 `p^l` 阶的子群
		称为 `G` 的 <b>Sylow `bm p`-子群</b>.
	</li>
  <li><b>共轭性质</b>
    设 `G` 的子群 `|H| = p^k`, `|P| = p^l`, `k le l`.
		则 `H` 含于 `P` 的某个共轭子群, 即
		<span class="formula">
			`(EE a in G)` `H sube a P a^-1`.
		</span>
		因为共轭子群与原来的子群同构, 从而阶数相同,
		所以 Sylow `p`-子群的共轭子群也是 Sylow `p`-子群.
		特别取 `k = l` 有 `H = a P a^-1`,
		即 `G` 的 Sylow `p`-子群都是相互共轭的.
	</li>
  <li><b>惟一性</b>
    由 2. 立即得到,
    `P` 是 `G` 的惟一 Sylow `p`-子群当且仅当它的任意共轭子群都是它自身:
    <span class="formula">
      `(AA g in G)` `g P g^-1 = P`, 即 `P normal G`.
    </span>
  </li>
  <li><b>数量关系</b>
    `G` 的 Sylow `p`-子群的数目 `n_p -= 1 (mod p)`,
		且 `n_p p^l | n`.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
  存在性的证明.
	<li>令 `X = {A sube G {:|:} |A| = p^k}`. 则 `|X| = (n;p^k)`.
		作映射
		<span class="formula">
			`f: G xx X to X`<br/>
			`(g, A) to g A`.
		</span>
    这里 `g A = {g a | a in A}` 类似于左陪集, 不同之处在于 `A`
    是一般的集合.  由于 `G` 上左平移变换为单射, 故 `|g A| = |A|`.
		现在 `AA g, h in G`, `A in X`, 有
		<span class="formula">
			`e A = A`, `quad (g h) A = g(h A)`,
		</span>
		故 `f` 为群 `G` 在 `X` 上的一个群作用.
  </li>
  <li>将 `X` 写为 `f` 轨道的无交并:
		<span class="formula">
			`X = uuu_(i=1)^m O_(A_i)`,
			`quad |X| = sum_(i=1)^m |O_(A_i)|`.
		</span>
		由引理, `p` 在 `|X|` 中的次数为 `l-k`. 故存在 `1 le j le m`,
		<span class="formula">
			`p^(l-k+1) !| |O_(A_j)|`,
		</span>
		即 `|O_(A_j)|` 至多含 `l-k` 个素因子 `p`. 根据<a class="ref"
		href="#the-orbit-cardinal"></a>,
		<span class="formula">
			`|G| = |O_(A_j)| |H_(A_j)|`.
		</span>
		从而 `|H_(A_j)|` 至少含有 `l-(l-k) = k` 个素因子 `p`,
		即 `p^k | |H_(A_j)|`.
  </li>
  <li>下证 `H_(A_j)` 就是我们要寻找的子群.  因为
		<span class="formula">
			`H_(A_j) = {g in G | g A_j = A_j}`,
		</span>
		所以 `AA g in H_(A_j)`, `AA a in A_j`, `g a in A_j`.
		从而 `H_(A_j)` 的右陪集 `H_(A_j) a sube A_j`, 因此
		<span class="formula">
			`|H_(A_j)| = |H_(A_j) a| le |A_j| = p^k`
		</span>
		但 `p^k | |H_(A_j)|`, 所以 `|H_(A_j)| = p^k`, 即为 `G` 的一个
		`p^k` 阶子群.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
  共轭性质的证明.
	令 `X = G//P_l` (`G` 关于 Sylow `p`-子群 `P` 的左齐性空间),
  则 `|X| = [G:P] = n//p^l`. 作映射
  <span class="formula">
    `f: H xx X to X`<br/>
    `(h, g P) to (h g)P`.
  </span>
  `AA h_1, h_2 in H`, `AA g P in X`,
  <span class="formula">
    `e(g P) = (e g) P = g P`,
    `quad (h_1 h_2)g P = (h_1 (h_2 g)) P`.
  </span>
  从而 `f` 为群 `H` 在 `X` 上的一个群作用.
  由 `p !| |X|` 知, `f` 有不动点, 记为 `a P`, 即 `AA h in H`,
  `h (a P) = a P`. 从而 `a^-1 h a in P`, 于是
  `a^-1 H a sube P`, 即 `H sube a P a^-1`.
</p>

<ol class="proof">
  数量关系的证明.
  <li>
    先证 `n_p | n`.
    令 `X` 为 `G` 的所有 Sylow `p`-子群构成的集合. 作映射
    <span class="formula">
      `f_1: G xx X to X`<br/>
      `(g, P) to g P g^-1`.
    </span>
    容易验证 `f_1` 为一群作用. 但 `G` 的所有 Sylow
    `p`-子群都是相互共轭的, 所以 `f_1` 只有一个轨道 `X`,
    从而 `n_p = |X| | |G| = n`.
  </li>
  <li>令 `X = {P_1, P_2, cdots, P_(n_p)}`, 则
    <span class="formula">
      `f_2: P_1 xx X to X`<br/>
      `(a, P_i) to a P_i a^-1`.
    </span>
    提供 `P_1` 在 `X` 上的一个群作用. 记 `f_2` 的不动点数为 `t`, 则
    <span class="formula">
      `n_p -= t (mod p)`.
    </span>
  </li>
  <li>下证 `t = 1`. 显然 `P_1 in X` 为 `f_2` 的一个不动点, 若 `P_j` 也为
    `f_2` 的不动点, 即
    <span class="formula">
      `(AA g in P_1)` `P_j = g P_j g^-1`,
    </span>
    从而 `P_1 sube N_G(P_j)`. 即 `P_1` 为 `N_G(P_j)` 的一个 Sylow
    `p`-子群. 但 `P_j normal N_G(P_j)` 是 `N_G(P_j)` 的惟一 Sylow
    `p`-子群, 故 `P_1 = P_j`. 这证明了不动点的惟一性.
  </li>
  <li>
    最后由 `n_p | n` 和 `p !| n_p` 知 `n_p p^l | n`.
  </li>
</ol>

<p class="example">
	72, 36 阶群不是单群.
</p>

<p class="proof">
	设 `|G| = 72 = 2^3 3^2`, 由 Sylow 定理, `G` 的 Sylow 3-子群的个数
	`n_3 = 1+3t | 2^3`, 因此, `t = 0, 1`.
	当 `t = 0` 时, `G` 的 Sylow-3 子群只有 1 个, 为 9 阶正规子群.
	当 `t = 1` 时, `G` 的 Sylow-3 子群有 4 个, 令 `X` 是这 4 个群的集合:
	<span class="formula">
		`X = {P_1, P_2, P_3, P_4}`.
	</span>
	考虑 `G` 在 `X` 上的共轭作用, 则由<a class="ref"
	href="#the-group-action-homomorphism"></a>, `G` 的每一元素提供一个 4
	次置换, 于是我们得到一个同态映射 `varphi: G to S_4`.
	由 `|G| = 72 gt |S_4| = 24` 知, `varphi` 不是单射, 即 `"Ker"varphi !=
	{e}`, 又显然 `varphi(G) != {(1)}` (否则 `G` 只有一个 Sylow 3-子群,
	矛盾). 从而 `"Ker" varphi != G`, 于是 `G`
	有非平凡的正规子群 `"Ker"varphi` (它是 `varphi(G)` 的平凡正规子群
	`{(1)}` 的原像, 因此是正规子群).
	综上所述, `G` 不是单群.<br/>
	类似可证明 36 阶群不是单群.
</p>

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</body>
</html>
